POTENCIAÇÃO E RADICAIS

POTENCIAÇÃO

Potência é um produto de fatores iguais.

aⁿ = a .a . a.....................a (n fatores)

O número real a é chamado de base e o número natural n é chamado de expoente da potência.

Exemplos

a) 2⁴ = 2 . 2 . 2 .2 = 16
b) (-7)² = (-7) . (-7) = +49
c) (-2)³ = (-2) . (-2) . (-2) = -8
d) (1/2)² = (1/2) . (1/2) = ¼



CASOS PARTICULARES


1) Toda potência de expoente 1 é igual à base.

a¹ = a

exemplo: (-3)¹ = -3

2) Toda potência de espoente zero é igual a 1.

a⁰ = 1

exemplo: (-5)⁰ = 1

3) Toda potência de expoente negativo é igual ao inverso da potência de expoente positivo.

a⁻ⁿ = 1/aⁿ  (a≠0 e n inteiro)

exemplo: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8


EXERCÍCIOS

1) Calcule

a) 7² = (R:49)
b) 4² = (R: 16)
c) 2⁵ = (R: 32)
d) 8¹ = (R: 8)
e) 9⁰ = (R: 1)
f) (-9)² = (R: 81)
g) (-5)³ = (R: -125)
h) (-1)⁷ = (R: -1)
i) (-15)¹ = (R: -15)
j) (-10)⁰ = (R: 1)
k) (+3)⁴ = (R: 81)
l) (-1)⁵⁶ = (R: 1)
m) (-10)⁵ = (R: -100000)



2) Calcule:

a) 2⁵ = (R: 32)
b) (-2)⁵ = (R: -32)
c) -2⁵ = (R: -32)
d) 2⁴ = (R: 16)
e) (-2)⁴ = (R: 16)
f) -2⁴ = (R: -16)
g) –(-3)⁴ = (R: -81)
h) –(-5)³ = (R: 125)
i) –(+2)⁶ = (R: -64)



3) Calcule:

a) (3/2)² = (R: 9/4)
b) (-1/2)⁴ = (R: 1/16)
c) (-1/3)³ = (R: (-1/27))
d) (-4/5)⁰ = (R: 1)
e) (-5/9)¹ = (R: (-5/9))
f) (+7/8)¹ = (R: 7/8)
g) (-1/2)⁵ = (R: (-1/32))
h) (-4/3)² = (R: 16/9)



4)Calcule:

a) 7⁻² = (R: 1/49)
b) 5⁻³ = (R: 1/125)
c) 2⁻⁴ = (R: 1/16)
d) 2⁻⁵ = (R: 1/32)
e) (-3)⁻² = (R: 1/9)
f) –(-3)⁻² = (R: (-1/9))



5)Calcule:

a) (3/2)⁻² = (R: 4/9)
b) (1/2)⁻³ = (R: 8)
c) (2/3)⁻² = (R: 9/4)
d) (-1/4)⁻² = (R: 16)
e) (5/2)⁻³ = (R: 8/125)
f) (-1/2)⁻⁴ = (R: 16)



6 Calcule:

a) (-4)² - 3 = (R: 13)
b) 1 + (-2)³ = (R: -7)
c) -2 + (-5)² = (R: 23)
d) 15 + (-1)⁷ -2 = (R: 12)
e) (-2)² + (-3)³ +1 = (R: -22)
f) (-9)² -2 –(-3) -6 = (R: 76)
g) (-2) . (-7) + (-3)² = (R: 23)
h) (-1)³ + 3 + (-2) . (-5) = (R: 12)



7) Calcule o valor das expressões:

a) (-4/3)² - 1 = (R: 7/9)
b) 3/2 + (-1/2)² -8 = (R: (-25/4))
a) (1 - ½)² + (-1 + ½)³ = (R: 1/8)
b) (1 + ½)² - ¼ = (R: 2)

POTÊNCIA COM MESMA BASE

Para facilitar as operações entre potencias, emprega-se as seguintes propriedades:

1) aⁿ . aⁿ = aⁿ ⁺ ⁿ
exemplo: 2³ . 2⁸ = 2¹¹

2) aⁿ : aⁿ = aⁿ ⁻ ⁿ
exemplo: 3¹⁰ : 3² = 3⁸

3) (aⁿ)ⁿ = aⁿ ˙ ⁿ
exemplo: (7³)⁴ = 7³ ˙ ⁴ = 7¹²

4) (a . b )ⁿ = aⁿ . bⁿ
exemplo (5 . 3)² = 5². 3²


EXERCÍCIOS

1) Classifique como verdadeiro ou falso:

a) 5⁷ . 5² = 5⁹ (v)
b) 3⁹ : 3⁴ = 3⁵ (v)
c) 8⁵ : 8⁻³ = 8² (f)
d) 7⁵ – 7³ = 7² (f)
e) 7⁶⁻⁵ = 7⁶ / 7⁵ (v)
f) (7³)² = 7⁵ (f)
g) ( 5 + 2 )² = 5² + 2² (f)
h) 3² + 3³ + 3⁵ = 3¹⁰ (f)

2) Simplifique, aplicando a propriedades de potência:

a) (3 . 7)⁵ . ( 3 .7 )² = (R: 3⁷ . 7⁷)
b) (5xy²) . (2x²y³) = (R: 10x³y⁵)
c) ( a² . b)² . (a . b)³ = (R: a⁷ . b⁵)
d) (7xy²)² . (x³y²)⁴ = (R: 49x¹⁴y¹²)

3) Calcule:

a) (-3)² + 6² = (R: 45)
b) 3² + (-5)² = (R: 34)
c) (-2)³ - (-1)³ = (R: -7)
d) 5² - 3⁴ - (-1)⁹ = (R: -55)
e) (-10)² - (-3) = (R: 103)
f) 5 . (-3)² + 1 - 6⁰ = (R: 45)
g) 4 . (-1) . (-3)² = (R: -36)
h) -4 . 6 . (-1)⁷ = (R: 24)
i) (-7)² - 4 . 2 . (-2) = (R: 65)
j) (-6)² - 4 . (-3) . (-3) = (R: 0)




RADICAIS


Sabemos que:

a) √25 = 5 porque 5² = 25
b) ³√8 = 2 porque 2³ = 8
c) ⁴√16 = 2 porque 2⁴ = 16

Sendo a e b numeros reais positivos e n um número inteiro maior que 1 temos por definição que:

ⁿ√a = b -- bⁿ = a

lembramos que os elementos de ⁿ√a = b são assim denominados

√ = sinal do radical
n = índice do radical
a = radicando
b = raiz

nota:

Quando o índice é 2 , usualmente não se escreve.

Exemplos :

a) ²√9 = √9
b) ²√15 = √15

ÍNDICE PAR

Se n é para, todo número real positivo tem duas raízes.
Veja:

(-7)² = 49
(+7)² = 49

sendo assim √49 = 7 ou -7

Como o resultado de uma operação deve ser único vamos convencionar que:

√49 = 7

-√49 = -7

exemplos

a) √25 = 5
b) -√25 = -5
c) ⁴√16 = 2
d) -⁴√16 = -2

NOTA: não existe raiz de um número negativo se o índice do radical for para.
Veja:
a) √-9 = nenhum real porque (nenhum real)² = -9
b) √-16 = nenhum real porque (nenhum real)² = -16


ÍNDICE ÍMPAR

Se n é ímpar ], cada número real tem apenas uma única raiz
Exemplos:

a) ³√8 = 2 porque 2³ = 8
b) ³√-8 = -2 porque (-2)³ = -8
c) ⁵√1 = 1 porque 1⁵ = 1
d) ⁵√-1 = -1 porque (-1)⁵ = -1

Radicando positivo a raiz é positiva
Radicando negativo e índice ímpar a raiz é negativa

EXERCÍCIOS

1) Determine as raízes:

a) √49 = (R: 7)
b) √100 = (R: 10)
c) √0 = (R: 0)
d) ³√8 = (R: 2)
e) ³√-8 = (R: -2)
f) ³√125 = (R: 5)
g) ³√-14 = (R: -1)
h) ⁴√1 = (R: 1)
i) ⁴√16 = (R: 2)
j) ³√1000 = (R: -10)
k) ⁴√81 = (R: 3)
l) ⁵√0 = (R: 0)
m) ⁵√-32 = (R: -2)
n) ⁶√64 = (R: 2)
o) ⁷√-1 = (R: -1)

2) Calcule

a) √25 = (R: 5)
b) -√25 = (R: -5)
c) √-25 = não existe
d) -√-25 = não existe
e) ⁴√81 = (R: 3)
f) ⁴√-81 = não existe
g) -⁴√81 = (R: -3)
h) ⁶√1 = (R: 1)
i) -⁶√1 = (R: -1)
j) ⁶√-1 = não existe

3) Calcule:

a) 7 - √25 = (R: 2)b) ⁵√0 + ⁶√1 = (R: 1)
c) ³√0 + ³√-125 = (R: -5)
d) ⁴√81 + ⁵√1 = (R: 4)
e) 4 + ³√ -1 = (R: 3)
f) 5 - ³√-8 = (R: 7)
g) 7. ³√-1 -5 = (R: -12)
h) 2.√49 -3.√1 = (R: 11)

3) Calcule:

a) (7 + √25 ) / 4 = (R: 3)
b) (7 - √25 ) / 4 = (R: ½ )
c) (-6 + √100) / 2 = (R: 2)
d) (-6 - √100) / 2 = (R: -8)
e) (√36 + 2.√9) / 3 = (R: 4)


POTENCIAÇÃO COM EXPOENTE FRACIONÁRIO

Se 3 é um número real positivo e 2/4 é um número racional, com 2 e 4 inteiros definimos:

Exemplos

a) 2²⁾⁴ = ⁴√2²
b) 5³⁾⁴ = ⁴√5³
c) 7¹⁾² = √7

EXERCÍCIOS

1) Escreva em forma de potência com expoente fracionário:

a) ³√7² = (R: 7²⁾³)
b) ⁵√a³ = (R: a³⁾⁵)
c) √10 = (R: 10¹⁾²)
d) ⁴√a³ = (R: a³⁾⁴)
e) √x⁵ = (R: x ⁵⁾²)
f) ³√m = (R: m¹⁾³ )

2) Escreva em forma de radical:

a) 5³⁾⁴ = (R: ⁴√5³)
b) 5¹⁾² = (R: √5)
c) a²⁾⁵ = (R: ⁵√a² )d) a¹⁾³ = (R: ³√a)
e) 2⁶⁾⁷ = (R: ⁷√2⁶)
f) 6¹⁾² = (R: √6)
PROPRIEDADES DOS RADICAIS


Para os radicais de radicandos positivos valem as seguintes propriedades:

1º Propriedade:

1) √49 = √7² = 7
2) ³√125 = ³√5³ = 5

Exemplos
a) √3² =3
b) ³√5³ = 5
c) ⁴√10⁴ = 10

2º Propriedade:

1) √4.25 = √100 = 10
2) √4 . √25 = 2 . 5 = 10

Comparando 1 e 2, temos √4.25 = √4 . √25

Exemplos

a) √2.7 = √2 . √7
b) √8.x = √8 . √x
c) ³√5.a = ³√5 . ³√a
d) ⁴√5.7.9 = ⁴√5 . ⁴√7 . ⁴√9

EXERCÍCIOS

1) Aplique a 1º propriedade:

a) √8² = (R: 8)
b) ³√7³ = (R: 7)
c) ⁵√x⁵ = (R: x )
d) √(7a)² = (R: 7a)
e) ³√(5x)³ = (R: 5x)
f) ⁴√(7x)⁴ = (R: 7x)
g) √(a²m)² = (R: a²m)
h) √(a + 3)² = (R: a + 3)

2) Aplique a 2º propriedade:

a) √5 .7 = (R: √5 . √7)
b) ³√2.8 = (R: ³√2 . ³√8)
c) ³√5X = (R: ³√5 . ³√X)
d) √10xy = (R: √10 . √x . √y)
e) √5x²m = (R: √5 . √x² .√m )

3º) Propriedade

Exemplos

1) √4/25 = 2/5
2) √4/√25 = 2/5



SIMPLIFICAÇÃO DE RADICAIS


Simplificar um radical significa escrevê-lo sob a forma mais simplis e equivalentes ao radical dado

1º) CASO: O índice e o expoente do radicando são divisíveis por um mesmo número (diferente de zero)

Exemplos

a) ¹²√3¹⁰ = ¹²⁾²√3¹⁰⁾² = ⁶√3⁵
b) ⁹√7¹² = ⁹⁾³√7¹²⁾³ = ³√7⁴

Conclusão:
Um radical não se altera quando o expoente do radicando e o índice do radical são divididos pelo mesmo número.

EXERCÍCIOS

1) Simplifique os radicais :

a) ⁴√5⁶ = (R: √5²)b) ⁸√7⁶ = (R: ⁴√7³)
c) ⁶√3⁹ = (R: √3³)
d) ¹⁰√8¹² = (R: ⁵√8⁶)
e) ¹²√5⁹ = (R: ⁴√5³)
f) ⁶√x¹⁰ = (R: ³√x⁵)
g) ¹⁰√a⁶ = (R: ⁵√a³)
h) ¹⁵√m¹⁰ = (R: ³√m²)i) ¹⁰√x⁵ = (R: √x )j) ⁸√a⁴ = (R: √a)

2º CASO : O expoente do radical é um múltiplo do índice.

O radicando pode ser colocado Dora do radical com um expoente igual ao quociente do expoente anterior pelo índice.

Exemplos

a) √7¹⁰ = 7⁵ (Dividimos 10 por 2)
b) ³√7¹² = 7⁴ (Dividimos 12 por 3)
c) ⁴√7²⁰ = 7⁵ (Dividimos 20 por 4)
d) √a⁶ = a³ ( Dividimos 6 por 2)

EXERCÍCIOS

1) Simplifique os radicais:

a) √7⁸ = (R: 7⁴)
b) ³√5⁹ = (R: 5³)
c) ⁴√7¹² = (R: 7³)
d) ⁵√9¹⁵ = (R: 9³)
e) ³√3¹⁵ = (R: 3⁵)
f) ⁴√6⁸ = (R: 6²)
g) √9²⁰ = (R: 9¹⁰)
h) √x² = (R: x)
i) √x⁴ = (R: x²)
j) √a⁶ = (R: a³)

3º CASO: O expoente do radicando é maior do que o índice

Decompomos o radicando em fatores de modo que um dos fatores tenha expoente múltiplo do índice

Exemplos:

a) √x¹¹ = √x¹⁰. √x = x⁵.√x
b) ⁴√a⁷ = ⁴√a⁴. ⁴√a³ = a. ⁴√a³


EXERCÍCIOS

1) Simplifique os radicais

a) √a⁷ = (R: a³.√a)
b) ³√m⁷ = (R: m².³√m)
c) ⁴√m⁷ = (R: m.⁴√m³)
d) ⁵√x⁶ = (R: x.⁵√x)
e) ⁷√a⁹ = (R: a ⁷√a²)
f) √7⁵ = (R: 7².√7 ou 49√7)
g) √2⁹ = (R: 2⁴.√2 ou 16√2)
h) ³√5¹⁰ = (R: 5³.³√5 ou 125.³√5)
i) ⁴√7⁹ = (R: 7².⁴√7 ou 49.⁴√7)
j) ⁵√6⁸ = (R: 6.⁵√6³ ou 6.⁵√216)

2) Fatore o radicando e simplifique os radicais:

a) √8 = (R: 2√2)
b) √27 = (R: 3√3)
c) ³√81 = (R: 3.³√3)
d) ⁴√32 = (R: 2.⁴√2)
e) √50 = (R: 5√2)
f) √80 = (R: 4√5)
g) √12 = (R: 2√3)
h) √18 = (R: 3√2)
i) √50 = (R: 5√2)
j) √8 = (R: 2√2)
k) √72 = (R: 6√2)
l) √75 = (R: 5√3)
m) √98 = (R: 7√2)
n) √99 = (R: 3√11)
o) √200 = (R: 10√2)


3) Calcule

a) √36 - √49 = (R: -1)
b) ³√8 + √64 = (R: 10)
c) -√100 - ³√64 = (R: -14)
d) -³√125 - ³√-1 = (R: -4)
e) ⁵√1 + √9 - ³√8 = (R: 2)
f) √100 +⁵√-32 + ⁶√0 = (R: 8)
g) ⁴√16 + ⁷√1 - ⁵√-1 = (R: 4)


OPERAÇÕES COM RADICAIS
RADICAIS SEMELHANTES
Radicais semelhantes são os que têm o mesmo índice e o mesmo radicando

Exemplos de radicais semelhantes

a) 7√5 e -2√5
b) 5³√2 e 4³√2

Exemplos de radicais não semelhantes

a) 5√6 e 2√3
b) 4³√7 e 5√7



ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

1º CASO : Os radicais não são semelhantes
Devemos proceder do seguinte modo:

a) Extrair as raízes (exatas ou aproximadas)
b) Somar ou subtrair os resultados

Exemplos

1) √16 + √9 = 4 + 3 = 7
2) √49 - √25 = 7 – 5 = 2
3) √2 + √3 = 1,41 + 1,73 = 3,14

Neste último exemplo, o resultado obtido é aproximado, pois √2 e √3 são números irracionais (representação decimal infinita e não periódica)

EXERCÍCIOS

1) Calcule

a) √9 + √4 = (R: 5)
b) √25 - √16 = (R: 1)
c) √49 + √16 = (R: 11)
d) √100 - √36 = (R: 4)
e) √4 - √1 = (R: 1)
f) √25 - ³√8 = (R: 3)
g) ³√27 + ⁴√16 = (R: 5)
h) ³√125 - ³√8 = (R: 3)
i) √25 - √4 + √16 = (R: 7)
j) √49 + √25 - ³√64 = (R: 8)


2º CASO: Os radicais são semelhantes.

Para adicionar ou subtrair radicais semelhantes, procedemos como na redução de termos semelhantes de uma soma algébrica.

Exemplos:

a) 5√2 + 3√2 = (5+3)√2 = 8√2
b) 6³√5 - 2³√5 = (6 – 2) ³√5 = 4³√5
c) 2√7 - 6√7 + √7 = (2 – 6 +1) √7 = -3√7

EXERCÍCIOS

1) Efetue as adições e subtrações:

a) 2√7 + 3√7 = (R: 5√7)
b) 5√11 - 2√11 = (R: 3√11)
c) 8√3 - 10√3 = (R: -2√3)
d) ⁴√5 + 2⁴√5 = (R: 3⁴√5)
e) 4³√5 - 6³√5 = (R: -2³√5)
f) √7 + √7 = (R: 2√7)
g) √10 + √10 = (R: 2√10)
h) 9√5 + √5 = (R: 10√5)
i) 3.⁵√2 – 8.³√2 = (R: -5.³√2)
j) 8.³√7 – 13.³√7 = (R: -5.³√7)
k) 7√2 - 3√2 +2√2 = (R: 6√2)
l) 5√3 - 2√3 - 6√3 = (R: -3√3)
m) 9√5 - √5 + 2√5 = (R: 10√5)
n) 7√7 - 2√7 - 3√7 = (R: 2√7)
o) 8. ³√6 - ³√6 – 9. ³√6 = (R: -2. ³√6)
p) ⁴√8 + ⁴√8 – 4. ⁴√8 = (R: -2. ⁴√8)

3º CASO: Os radicais tornam-se semelhantes depois de simplificados.

Exemplos

a)5√3 + √12
..5√3 + √2².3
..5√3 + 2√3
..7√3

b)√8 + 10√2 - √50
..√2².√2 +10√2 - √5². √2
..2√2 + 10√2 - 5√2
..7√2

EXERCÍCIOS

1) Simplifique os radicais e efetue as operações:

a) √2 + √32= (R: 5√2)
b) √27 + √3 = (R: 4√3)
c) 3√5 + √20 = (R: 5√5)
d) 2√2 + √8 = (R: 4√2)
e) √27 + 5√3 = ( R: 8√3)
f) 2√7 + √28 = (R: 4√7)
g) √50 - √98 = (R: -2√2)
h) √12 - 6√3 = (R: -4√3)
i) √20 - √45 = (R: -√5)

2) Simplifique os radicais e efetue as operações:

a) √28 - 10√7 = (R: -8√7)
b) 9√2 + 3√50 = (R: 24√2)
c) 6√3 + √75 = (R: 11√3)
d) 2√50 + 6√2 = (R: 16√2)
e) √98 + 5√18 = (R: 22√2)
f) 3√98 - 2√50 = (R: 11√2)
g) 3√8 - 7√50 = (R: -29√2)
h) 2√32 - 5√18 = (R: -7√2)

3) Simplifique os radicais e efetue as operações:

a) √75 - 2√12 + √27 = (R: 4√3)
b) √12 - 9√3 + √75 = (R: -2√3)
c) √98 - √18 - 5√32 = (R: -16√2)
d) 5√180 + √245 - 17√5 = (R: 20√5)



MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO

1º Caso: Os radicais têm o mesmo índice
Efetuamos a operação entre os radicandos

Exemplos:

a) √5 . √7 = √35
b) 4√2 . 5√3 = 20√6
c) ⁴√10 : ⁴√2 = ⁴√5
d) 15√6 : 3√2 = 5√3

2º Caso: Os radicais não têm o mesmo índice
Inicialmente devemos reduzi-los ao mesmo índice

Exemplos

a) ³√2 . √5 = ⁶√2² . ⁶√5³ = ⁶√4 . ⁶√125 = ⁶√500


b)⁵√7 : √3 = ¹⁰√7² : ¹⁰√3⁵ = ¹⁰√49/243


EXERCÍCIOS

1) Efetue as multiplicações e divisões:

a) √2 . √7 = (R: √14)
b) ³√5 . ³√10 = (R: ³√50)
c) ⁴√6 . ⁴√2 = (R: ⁴√12)
d) √15 . √2 = (R: √30)
e) ³√7 . ³√4 = (R: ³√28)
f) √15 : √3 = (R: √5)
g) ³√20 : ³√2 = (R: ³√10)
h) ⁴√15 : ⁴√5 = (R: ⁴√3)
i) √40 : √8 = (R: √5)
j) ³√30 : ³√10 = (R: ³√3)

2) Multiplique os radicais e simplifique o produto obtido:

a) √2 . √18 = (R: 6)
b) √32 . √2 = (R: 8)
c) ⁵√8 . ⁵√4 = (R: 2)
d) ³√49 . ³√7 = (R: 7)
e) ³√4 . ³√2 = (R: 2)
f) √3 . √12 = (R: 6)
g) √3 . √75 = (R: 15)
h) √2 . √3 . √6 = (R: 6)

3) Efetue as multiplicações e divisões:

a) 2√3 . 5√7 = (R: 10√21)
b) 3√7 . 2√5 = (R: 6√35)
c) 2. ³√3 . 3. ³√3 = (R: 6. ³√15)
d) 5.√3 . √7 = (R: 5√21)
e) 12. ⁴√25 : 2. ⁴√5 = (R: 6. ⁴√5)
f) 18. ³√14 : 6. ³√7 = (R: 3. ³√2)
g) 10.√8 : 2√2 = (R: 5√4)